İçindekiler
AYT Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı
Gerçek sayıların yetersiz kaldığı durumlarda matematik, yeni bir sayı türü tanımlar:
Karmaşık Sayılar.
Bu sayılar, özellikle 2. dereceden denklemlerin köklerini bulma sürecinde ortaya çıkmıştır.
Bir denklem gerçek kök içermediğinde çözüm ancak bu yeni sayı sistemiyle mümkündür.
🔎 Tanım:
Karmaşık sayılar,
şeklinde yazılır.
Burada:
-
a: gerçek kısım
-
b: sanal kısım katsayısı
📚 AYT’de Sıklıkla Sorgulananlar:
-
Karmaşık sayının eşleniği, modu (mutlak değeri)
-
Toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemleri
-
Karmaşık düzlemde gösterim
-
’nin kuvvetleri ve periyodikliği
-
2. dereceden denklemlerin karmaşık kökleri
🔹 Ünitenin Alt Başlıkları:
-
Karmaşık Sayı Tanımı ve i’nin Özellikleri
-
Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
-
Karmaşık Sayının Eşleniği ve Mutlak Değeri
-
Karmaşık Sayıların Denkliği
-
Karmaşık Sayıların Görsel Gösterimi (Argüman – Düzlem)
-
Uygulamalı Sorular ve Köklerle İlişkiler
Karmaşık Sayı Tanımı ve i’nin Özellikleri
📘 Karmaşık Sayı Nedir?
Bir karmaşık sayı:
şeklinde yazılır.
Burada:
📘 Karmaşık Sayılar Kümesi:
🧠 Gerçek Sayılar ile Farkı:
-
denklemine gerçek sayılarda çözüm yok
-
Karmaşık sayılarda çözüm:
📘 i’nin Kuvvetleri:
Karmaşık sayıların önemli bir özelliği:
’nin kuvvetleri döngüseldir.
🔁 Genel Kural:
📌 Özet:
Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
📘 A. Toplama ve Çıkarma
Karmaşık sayılar gerçek ve sanal kısımlar kendi arasında işleme girer:
📘 B. Çarpma
📘 C. Bölme (Eşleniğiyle Çarpma)
Karmaşık sayı bölme işlemi, payda rasyonelleştirilerek yapılır.
Payda karmaşık sayının eşleniğiyle çarpılır.
📌 İpuçları:
-
Toplama ve çıkarma: benzer terimleri grupla
-
Çarpma:
kuralını unutma
-
Bölme: eşlenik ile çarp, payda daima gerçek olur
Karmaşık Sayının Eşleniği ve Mutlak Değeri
📘 A. Karmaşık Sayının Eşleniği
Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işareti değiştirilerek yazılır.
🧠 Eşlenik ile çarpım:
📘 B. Karmaşık Sayının Modülü (Mutlak Değeri)
Karmaşık Sayıların Denkliği
📘 Tanım:
İki karmaşık sayı birbirine eşitse, hem gerçek kısımları hem de sanal kısımları birbirine eşittir.
Bu özellik, AYT’de özellikle bilinmeyen içeren denklemlerde kullanılır.
📘 Soru Tipi:
-
Bilinmeyenleri içeren karmaşık ifadeler verilir
-
Denkliği kullanarak gerçek ve sanal kısımları ayrı ayrı eşitle
-
Genellikle iki bilinmeyenli denklem çözümüne döner
📌 Notlar:
-
Denkliğin sadece bir kısmı eşit olamaz
-
Karmaşık sayılar gerçek sayılar gibi “kümelenmez”
Karmaşık Sayıların Görsel Gösterimi (Argüman – Düzlem)
📘 Karmaşık Düzlem (Gauss Düzlemi)
Karmaşık sayılar, koordinat düzlemine benzer bir yapıda gösterilir:
-
Gerçek eksen (x ekseni) → Gerçek kısım (a)
-
Sanal eksen (y ekseni) → Sanal kısım (b)
Her z=a+bi karmaşık sayısı, düzlemde bir nokta ya da vektör olarak gösterilir.
📘 Modül (Mutlak Değer) – Tekrar:
📘 Argüman (arg z):
Bir karmaşık sayının argümanı, vektörün pozitif gerçek ekseniyle yaptığı açıdır.
Genellikle radyan cinsinden ifade edilir.
Diğer bölgelerde açıya dikkat edilir!
📌 Argüman ile ilgili notlar:
Uygulamalı Sorular ve Köklerle İlişkiler
📘 A. 2. Dereceden Denklemler ve Karmaşık Kökler
Bir 2. dereceden denklemin kökleri:
📘 B. Karmaşık Sayılarla Çarpanlara Ayırma
Bir polinomun karmaşık kökleri varsa çarpanları da buna göre yazılır:
📘 C. Karmaşık Sayıların Üstel Güçleri ve i’li Sorular
Sınavlarda şu tip sorular da gelebilir:
Karmaşık Sayılar Testi
Cevap anahtarı en altta
Her soru farklı bir kazanımı ölçmek üzere hazırlanmıştır.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4