Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

Matematikte rasyonel sayılar, kesirli veya tam sayı biçiminde ifade edilebilen sayılardır. Bir rasyonel sayı, a/b biçiminde yazılabilir ve b ≠ 0 olmak zorundadır.

Rasyonel sayılar, günlük yaşamda oranlar, kesirler, ölçümler ve finansal hesaplamalar gibi birçok alanda kullanılır. TYT Matematik sınavında kesir işlemleri, ondalıklı gösterimler ve rasyonel sayılar arasındaki işlemlerle ilgili birçok soru yer alır.

Bu ünitede kesirler, rasyonel sayılarda işlemler, sıralama, devirli ondalık kesirler ve üslü işlemler gibi konuları detaylıca ele alacağız.

Haydi, rasyonel sayılar dünyasına adım atalım! 🚀📚

Rasyonel Sayılarda İşlemler

Tanım:
Bir rasyonel sayı, a/b (b ≠ 0) biçiminde yazılabilen bir sayıdır.

• Tam sayılar da rasyonel sayıdır. Çünkü her tam sayı paydası 1 olacak şekilde yazılabilir.
  Örnek: 5 = 5/1, -3 = -3/1

Kesir Çeşitleri

Kesirler, pay ve paydaya göre üçe ayrılır:

1. Basit Kesir: Pay, paydadan küçüktür. (Örn: 3/5, 2/7)
2. Bileşik Kesir: Pay, paydadan büyük veya eşittir. (Örn: 5/3, 9/4)
3. Tam Sayılı Kesir: Bileşik kesirler, tam kısmı ayrı olacak şekilde yazılabilir.
   Örnek: 7/2 = 3 tam 1/2

Kesirlerin Genişletilmesi ve Sadeleştirilmesi

• Genişletme: Pay ve paydayı aynı sayı ile çarpmaktır.
  Örnek: 2/3 → 2×4 / 3×4 = 8/12
• Sadeleştirme: Pay ve paydayı aynı sayıya bölerek en küçük hale getirmektir.
  Örnek: 18/24 → 18÷6 / 24÷6 = 3/4

Denk Kesirler

• Denk kesirler, birbirine eşit olan ancak farklı gösterimlere sahip kesirlerdir.
  Örnek: 3/5 = 6/10 = 9/15

Ondalık Kesirler

Ondalık kesirler, kesirlerin ondalık gösterimidir.

• Örnek: 3/4 = 0.75

Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir

Belli bir düzen içinde tekrar eden ondalıklı sayılara devirli ondalık kesir denir.

Örnek:

• 0.3333… → 0,3̅
• 0.727272… → 0,72̅

Devirli Ondalık Kesirlerin Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

1. X = 0,72̅ olsun.
2. 100X = 72,72̅
3. 100X – X = 72,72̅ – 0,72̅
4. 99X = 72
5. X = 72/99
6. X = 8/11

Rasyonel Sayılarda Sıralama

• Negatif sayılar, en küçük sayılardır.
• Paydalar eşitse, payı büyük olan daha büyüktür.
• Paydalar farklı ise, paydalar eşitlenerek kıyaslanır.

Örnek:
Sayıları sıralayalım: 3/4, 2/3, 5/6

• Eşitleyelim: 9/12, 8/12, 10/12
• Sıralama: 2/3 < 3/4 < 5/6

Rasyonel Sayıların Eşitliği

İki kesir sadeleştirildiğinde eşit çıkıyorsa, bunlar eşit kesirlerdir.
Örnek: 4/6 = 2/3

Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

• Paydalar eşitse: Paylar toplanır/çıkartılır.
  Örnek: 3/7 + 2/7 = 5/7
• Paydalar farklıysa: Ortak payda bulunur ve işlemler yapılır.
  Örnek: 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12

Rasyonel Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri

• Çarpma: Paylar çarpılır, paydalar çarpılır.
  Örnek: 2/3 × 4/5 = 8/15
• Bölme: İkinci kesir ters çevrilip çarpılır.
  Örnek: (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6

İşlem Önceliği

Matematikte işlemler şu sırayla yapılır:

1. Parantez içi işlemler
2. Üslü sayılar
3. Çarpma ve bölme
4. Toplama ve çıkarma

Önce çarpma:

Rasyonel Sayılarda Üs

• Bir rasyonel sayının pozitif kuvveti, tabanı kendisiyle çarpmak demektir.
  
• Negatif üs, sayının tersini alıp üslü hale getirmektir.
  

• Rasyonel sayılar, a/b (b ≠ 0) şeklinde yazılabilir.
• Kesirler sadeleştirilebilir ve genişletilebilir.
• Ondalık kesirler ve devirli kesirler, rasyonel sayıya dönüştürülebilir.
• Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılırken paydalar eşitlenir.
• İşlem önceliğine dikkat edilmelidir.
• Üs alma işlemi, hem pozitif hem negatif kuvvetler için geçerlidir.

TYT Matematik – Rasyonel Sayılar Ünitesi Testi

Aşağıdaki test, Rasyonel Sayılar konusunu pekiştirmenize yardımcı olacaktır. Soruları dikkatlice okuyup en doğru seçeneği işaretleyin.

1. Aşağıdaki sayılardan hangisi bir rasyonel sayı değildir?

A) 5/7
B) √2
C) -3
D) 0.25

2. Aşağıdaki kesirlerden hangisi tam sayıya eşittir?

A) 7/3
B) 10/2
C) 15/4
D) 9/5

3. 4/5 ve 3/7 kesirlerini sıralayınız.

A) 3/7 < 4/5
B) 4/5 < 3/7
C) 3/7 = 4/5
D) Karşılaştırılamaz

4. Aşağıdaki kesirlerden hangisi 2/3 ile denktir?

A) 4/6
B) 5/7
C) 3/4
D) 6/8

5. 0,72̅ sayısının rasyonel sayı olarak karşılığı nedir?

A) 72/99
B) 8/11
C) 7/9
D) 5/7

6. (5/6) + (2/3) işleminin sonucu kaçtır?

A) 3/2
B) 9/6
C) 7/6
D) 1

7. 3/4 ÷ 2/5 işleminin sonucu kaçtır?

A) 15/8
B) 10/12
C) 6/9
D) 1/2

8. (2/3)² işleminin sonucu kaçtır?

A) 4/9
B) 2/9
C) 8/27
D) 4/6

9. (3/5)⁻² işlemi nasıl hesaplanır?

A) (5/3)²
B) (5/3)⁻²
C) (3/5)²
D) (3/5)⁰

10. Aşağıdaki işlemlerden hangisi doğrudur?

A) (2/3) + (1/2) = 3/5
B) 3/4 × 4/3 = 1
C) (5/6) ÷ (2/3) = 10/9
D) (3/7) – (1/3) = 2/4

Cevap Anahtarı

1. B
2. B
3. A
4. A
5. B
6. C
7. A
8. A
9. A
10. B

Bu testi çözüp kendinizi değerlendirebilirsiniz. Hatalı olduğunuz soruları tekrar gözden geçirmeyi unutmayın! 🚀📚